Bases et systèmes de numération

lsd a écrit:

Tu n'as pas compris la problématique de l'usage de base à divisibilité réduite dans les quelles 1/2 ou 1/3 ou 1/4 sont des nombres à virgules qui n'en finissent plus (et qui donc gagnent à éviter l'écriture "déci"male pour l'écriture fractionnaire).

Si je comprends bien, il faut une base qui soit le produit du plus grand nombre possible de nombres premiers. Mais lesquels? 12 n'est pas divisible par 5; 30 n'est pas divisible par 4. En fait, en bas de 60, qui est déjà trop grand, il faut faire des choix déchirants, non?

Silvano a écrit:

30 n'est pas divisible par 4.

10 ne l'est pas d'avantage, mais 100 (10²) l'est.
10 n'est pas divisible par 3, 100 ne l'est pas d'avantage.

Pour que A_n/B_n ne soit pas une suite infinie de chiffres derrière la virgule, je me demande s'il doit pas y avoir une relation de divisibilité ente A^m* et n, non? ou quelque chose d'approchant... J'vais essayer de m'pencher là d'ssus...

*m entier naturel, 'videmment !

 

En fait, actuellement, on "tourne" autour de trois systèmes
-le système décimal, le plus ancien à ma connaissance encore utilisé
-le système hexadécimal, utilisé beaucoup plus récemment, depuis l'essor de l'informatique
-le système sexagésimal, lequel est en fait un système "composé" d'une base 10, adapté à la divisibilité par 12. C'est un système composé au sens que, comme on voulait pas se dépêtrer avec 60 symboles ( ), on a fait un système "à deux étages" : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 20 ...30 ...40 ... 50 ... 100 ou plutôt : 1 min 00 s.

Ce système "à deux étages différents" fit également partie de la vie courante de millions de Britanniques avant la décimalisation de la livre sterling : 1 £ = 20 sh, 1 sh = 12 d (pence).

La tentative de décimalisation du temps à la Révolution française fut un four : au contraire des autres mesures, ou chacun avait ses pieds, des onces et ses sacs de grains, les heures-minutes-secondes étaient adoptés auparavant par tous de la même manière (en matière de durée, car pour l'heure qu'il était, c'était une autre histoire, hors sujet ici).

Dans la série Rama, d'Arthur C. Clarke, on rencontre une espèce d'araignées intelligentes, donc à huit pattes, qui compte donc en base huit. Par exemple, leurs journées étaient divisées en huit à quatre ou cinq reprises; ils avaient huit termes pour huit vitesses de déplacement, et ainsi de suite.

Anoev a écrit:

Ce système "à deux étages différents" fit également partie de la vie courante de millions de Britanniques avant la décimalisation de la livre sterling : 1 £ = 20 sh, 1 sh = 12 d (pence).

En fait, ce système a été mis en place par Charlemagne.

 

Est-ce qu'il est encore utilisé ?

J'ai mis : le plus ancien à ma connaissance encore utilisé, sans virgule, sans point ; et non "le plus ancien à ma connaissance. Encore utilisé" ou "le plus ancien ; à ma connaissance encore utilisé". J'aurais dû peut-être être plus explicite en disant : "le plus ancien qui soit encore utilisé, à ma connaissance".

 

lsd a écrit:

Il est toujours utilisé , sur tous les cadrans horaires , même si on utilise la base dix pour le transcrire

Mais même les Babyloniens l'écrivaient en base 10... jusqu'à 59.

 

S'il faut en croire les contributeurs de Wikipédia, le système sumérien serait davantage à base six que 60.

Silvano a écrit:

S'il faut en croire les contributeurs de Wikipédia, le système sumérien serait davantage à base six que 60.

'xact !

La base 6 est intéressante (même si elle engendre des nombres un peu longs, car y a toujours une méthode pour repérer la divisibilité par un nombre <6. Par ailleurs, seule la non-divisibilité par 5 entraine des nombres "décimaux"* infinis.

L'idéosystème akrig utilise également la base 6. 1 = 1 trait, 2 = 2 traits, 3 = 3 traits...

Pour parler d'autres bases, il semblerait que les prisonniers utilisent la base 5. À voir les multitudes de fagots de 4 traits barrés par un cinquième, tracés sur les murs des cellules et représentant les jours de privation de liberté...



*J'sais bien qu'le terme est impropre ! Je devrais dire, pour CES nombres à base 6 contenant une virgule : des nombre seximaux ? euh...

 

lsd a écrit:

Silvano a écrit:

S'il faut en croire les contributeurs de Wikipédia, le système sumérien serait davantage à base six que 60.

si on en reste au système primitif des boules d'argile peut on même seulement parler de quelque base que ce soit

Ce n'est pas ça. Après un certain temps, une boule valait six: on comptait des sizaines...

 

lsd a écrit:

Tu as des sources de ça

En fait, je me rends compte que l'article ne cite aucune source. J'ai ajouté le bandeau idoine.

Anoev a écrit:

Pour parler d'autres bases, il semblerait que les prisonniers utilisent la base 5. À voir les multitudes de fagots de 4 traits barrés par un cinquième, tracés sur les murs des cellules et représentant les jours de privation de liberté...

C'est simple. Cinq est la moitié de dix, et souvent, ces cinquaines étaient regroupées par deux. Cela doit être dû au fait qu'on ne peut pas rapidement évaluer la taille d'un groupe de près de dix éléments, alors qu'à cinq, c'est facile.

Le système sexagésimal tel qu'il est pratiqué actuellement est donc sur "deux étages"

-un premier étage, celui des "unités", à base 10 : on dira 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 min...
-un deuxième étage en base 6 : à 59, on passe à 100, ou plutôt : 1:00. Bon, ça, on en a déjà parlé.

Main'nant, imaginons un système sexagésimal différent :
-le premier étage serait en base 6 : on dirait 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20 min...
-le deuxième étage en base 10 : on aurait bien 10 (en fait 6), 20 (12)... 90 (54) 91, 92, 93, 94, 95, 1:00.

Ça reviendrait au même, on aurait toujours nos 60 divisions, mais réparties de manière différente.

La différence, c'est que dans ce système, 1 h > 90 min !

Main'nant, va falloir que j'imagine à quoi r'ssemblerait le cadrant d'une pendule utilisant un tel système !

 

J'dirais plutôt, au grand maximum 6, éventuellement 7 pour qui a une très bonne vue.

J'm'en rends compte quand j'essaie de compter les étages d'un immeuble assez haut. C'est très dur si on n'a pas de point de repère tous les X étages. Eh bien, ce X peut être considéré comme une base.

Anoev a écrit:

J'dirais plutôt, au grand maximum 6, éventuellement 7 pour qui a une très bonne vue.

Mais vu qu'on compte rarement des groupes de points ou de lignes, ça n'a pas vraiment de pertinence, selon moi. En fait, la question de la base optimale, c'est la limite pour un humain normal de manipulation mathématique, comme la connaissance de la table de multiplication. Qui pourrait apprendre une table à 3600 cases, en base 60? Par contre, une table en base 16 serait, dit-on, assez facile à apprendre, même si elle a 256 cases. De même pour celle en base 12, qui serait, selon la Dozenal Society, plus facile à maîtriser que notre table en base 10.

Pour ce qui est de la facilité, la palme d'or revient sans aucun doute à la base 8° :

1	2	3	4	5	6	7	10
2	4	6	10	12	14	16	20
3	6	11	14	17	22	25	30
4	10	14	20	24	30	34	40
5	12	17	24	31	36	43	50
6	14	22	30	36	44	52	60
7	16	25	34	43	52	61	70
10	20	30	40	50	60	70	100

On voit tout de suite les caractères de divisibilité (sauf pour 5 : y en a pas*), et même les carrés parfaits : ils ne peuvent pas se terminer par un autre chiffre que 1, 4 ou 0. En plus, le fait d'avoir comme demi-base (4) une puissance de 2 arrange bien des choses !

Inconvénient de la base 8 : seules les divisions (de nombres non divisibles) par les puissances de 2 donnent des "octimales" finies. Pour la base 10, c'est les puissances de 2, de 5 et leurs produits ; pour les bases 6 & 12 : les puissances de 2, de 3 et leurs produits.


°Bon, bien sûr, y a la base 2, mais les nombres sont tellement longs... Et p'is la base 1 : un seul chiffre : 0 ! Aucun calcul possible !!!
*C'est comme pour 7 avec le système à base 10. En s'creusant la tête, on peut bien essayer d'en trouver un, mais ça ira plus vite de faire la division elle-même !

Anoev a écrit:

Et p'is la base 1 : un seul chiffre : 0 ! Aucun calcul possible !!!

En fait, il existe un système dit unaire. Et comme on est dans les bases bizarres, pourquoi pas une base non entière, voire irrationnelle, comme celle du système phinaire?

Et la table en base 12:

Silvano a écrit:

En fait, il existe un système dit unaire.

Dans une de ses variantes, c'est le système à base 5 du prisonnier.

Silvano a écrit:

Et comme on est dans les bases bizarres, pourquoi pas une base non entière, voire irrationnelle, comme celle du système phinaire?

J'ai lu : de beaux arrachages de ch'veux en perspective !

Citation :

Et la table en base 12...

J'ai beaucoup aimé la représentation des chiffres supplémentaires : nettement plus original que A & B.

J'avais imaginé d'autres caractères, mais ils se sont perdus dans le temps (j'les r'trouvrai p'têt').

Anoev a écrit:

Citation :

Et la table en base 12...

J'ai beaucoup aimé la représentation des chiffres supplémentaires : nettement plus original que A & B.

Il paraît que certains utilisent T et E (pour ten et eleven -- malheureusement, en français, on pourrait utiliser D, mais le O ferait problème -- pourquoi pas D et U, du latin?) ou X et Y (le X des chiffres romains, et la lettre qui le suit), mais je verrais difficile de l'algèbre avec ces caractères...

J'ai (à peu près) ces deux-là dans l'fond d'mes poches. en fait, le Ә serait un reflet du 6, et le Ҽ un reflet du 9. Mais, pour le premier, j'vient d'voir surgir un problème d'écriture (à moins de garder l'excroissance derrière la lettre) : Ҽ ≠ e (2, 71828...).