Bases et systèmes de numération

lsd a écrit:

Et les sumériens, ils avaient soixante doigts

J'imagine qu'ils comptaient avec les cinq doigts d'une main, puis fermaient le poing pour un sixième nombre, ou quelque chose du genre.
En tout cas, les Mésopotamiens comptaient en base dix. Néanmoins, ils arrêtaient à 59 et avaient un nouveau symbole pour 60.
Je ne pense pas que l'esprit humain puisse appréhender un vrai système en base 60.

Silvano a écrit:

Je ne pense pas que l'esprit humain puisse appréhender un vrai système en base 60.

Pourtant, le système horaire a l'air de marcher pas si mal que ça, non ? d'puis l'temps...

Silvano a écrit:

lsd a écrit:

Et les sumériens, ils avaient soixante doigts

J'imagine qu'ils comptaient avec les cinq doigts d'une main, puis fermaient le poing pour un sixième nombre, ou quelque chose du genre.

Mieux : ils pourraient compter les douze phalanges d’une main avec le pouce, tout en levant un à un les doigts de l’autre main. 12×5 = 60 !

Le fait du pourquoi du comment que les sumériens comptaient en base 60 n'a pas eu encore de réponse définitive.

Deux hypothèses reviennent souvent :

1. Osmose de 2 peuples, un qui comptait en base 5 ou 10, et l'autre en base 12
   
2. 60 est le nombre le moins élevé qui permet des fractionnements faciles, incluant 2 bases classiques : 10 et 12.

L'origine même des sumériens reste mystérieuse. Tout ce qu'on sait, c'est que ce peuple est venu d'ailleurs, sans doute de la mer, et qu'il s'est mélangé avec les autochtones du sud de la Mésopotamie. Le sumérien semble être un isolat, même s'il existe plusieurs théories qui rattache tant bien que mal cette langue à diverses familles.

Beaucoup d'hypothèses louchent vers les langues malayo-polynésiennes (MP), aidé par quelques similarités lointaines de vocabulaire et de grammaire, mais surtout par le fait que certaines légendes parlent d'une migration maritime venant de l'est. Perso, je pense que c'est par là qu'il faut aller chercher, mes faibles connaissances en sumérien et dans diverses langues MP m'y incitent aussi, mais je pense plutôt à des emprunts divers venant de cette zone géographique, à l'image du japonais qui semble être la fusion d'envahisseurs altaïques avec une population locale MP.

D'autres inclinent vers les langues sibériennes, surtout pour des raisons grammaticales et de relative proximité géographique. J'ai des doutes, aucune légende ne parle d'une arrivée par le nord ou par les montagnes. De plus, le vocabulaire de base semble plutôt aller dans le sens d'un peuple de la mer et des plaines.

 

PatrikGC a écrit:

Beaucoup d'hypothèses louchent vers les langues malayo-polynésiennes (MP), aidé par quelques similarités lointaines de vocabulaire et de grammaire, mais surtout par le fait que certaines légendes parlent d'une migration maritime venant de l'est. Perso, je pense que c'est par là qu'il faut aller chercher, mes faibles connaissances en sumérien et dans diverses langues MP m'y incitent aussi, mais je pense plutôt à des emprunts divers venant de cette zone géographique, à l'image du japonais qui semble être la fusion d'envahisseurs altaïques avec une population locale MP.

Les Sumériens, c'est il y a 5500 ans. Or, les proto-malayo-polynésiens commençaient à peine à quitter Taiwan leur berceau d'origine à la même époque. Ils ont mis ensuite plus de 1000 ans pour atteindre Java et Sumatra, côté occidental. Et les migrations ultérieures vers Sri Lanka (puis Madagascar plus tard) sont estimées s'être produites à l'époque d'Açoka en Inde (3e siècle avant JC).

Donc, à mon sentiment, cette hypothèse malayo-polynésienne des Sumériens ne tient pas la route. Par contre, j'ai parfois entendu parler d'un "cousinage" avec les Dravidiens du sud de l'Inde.

Je ne fais que reprendre diverses théories existantes.

Peut-être que les proto-malayo-polynésiens commençaient seulement à quitter Taiwan, mais ne peut-on pas imaginer d'autres langues voisines ou cousines dans le même secteur géographique ? Et puis le proto-MP vient bien de qqpart...

Quand j'ai commencé à étudier le sumérien, j'ai été souvent surpris de certaines analogies (lointaines, il est vrai) avec les langues MP. On ne connait presque rien des langues d'il y a 5000 ans dans cette région. Donc en restant sur une éventuelle liaison entre le sumérien et les langues MP, on peut simplement lister diverses possibilités :
- le sumérien descend lointainement du proto-MP
- le proto-MP descend lointainement du sumérien
- le sumérien et le proto-MP ont le même ancêtre
- le sumérien et le proto-MP ont subi la même influence d'une langue disparue
- le sumérien (ou son ancêtre) a influencé le MP
- le proto-MP a influencé le sumérien ou son ancêtre
- aucun point commun, le hasard pouvant bien faire les choses...

Mais je crois qu'on ne saura jamais exactement les faits...

Quant à la parenté entre le sumérien et le proto-dravidien, j'ai des doutes car la simple lecture des grammaires montrent une énorme différence sur presque tous les points. S'il y a un lien entre ces 2 langues, il est tellement lointain que ça se perd dans la nuit des temps ! Mine de rien, les langues dravidiennes ont pas mal d'analogies avec l'IE dans leurs grammaires.

 

J'ai pas mal utilisé la base 5, et j'ai souvent construit la base 10 comme un dérivé de la base 5, parfois en parallèle à ou en concurrence avec la base 5 (à comparer avec le mélange entre base 10 et base 20 dans les langues atlantiques); et là je lorgne vers la base 12.

lsd a écrit:

Et dans vos idéolingues vous êtes tous en base 10 ?
et pourquoi ?

La numération, courante aneuvienne est en base 10. L'aneuvien est une langue mixte dont le vocabulaire numéral est à postériori, la plus grosse partie des langues (malgré des traces duodécimales, hexadécimales et vicésimal trouvables dans les nombres entre 11 et 20) utilise le système décimal. Cependant, il ne fait pas dans l'exclusive et d'autres bases y ont droit de cité. Inspirés des idées du lojban, des nombres peuvent être utilisés, notamment dans les applications comme l'informatique (ælve, tolve... deag), on reconnaîtra en eux des nombres issus de langues connues, sauf peut-être en koreg (E, autrement dit 14 en base 10) qui est un chiffre à-priori.

Mais on peut également compter en aneuvien avec des "petites" bases. Ainsi, 23 (base 4) se dit tinak-tern.

La base deux est la plus singulière de toutes, puisqu'on n'utilise ni milliers...ni centaines ni "dizaines" mais le chiffre 1 (ùt : le même dans toutes les bases) et un 0 qui lui est propre : pek (petit trou). 1011 (11 en base 2) = ùt-pek-ùt-ùt.

Pour en finir avec la numération, l'aneuvien utilise une échelle courte démarrant à 10³*. Pour mémoire, l'échelle française est une échelle longue commençant à à 10⁶ et l'échelle US est courte, mais démarre aussi à 10⁶.

En aneuf, il existe des traces d'un autre système, utilisant la base 6, mais avec d'autres chiffres : le système akrig (même page).

*Ainsi 1000 se dit tœsaṅd, 1 000 000 = tinsaṅd, 1 000 000 000 = tersaṅd... 10²⁴ = oxaṅd...

lsd a écrit:

Et dans vos idéolingues vous êtes tous en base 10 ?
et pourquoi ?

Il y a deux systèmes (possiblement plus) qui coexistent en Rémaï.

L'un permet de traduire la base 10 et est basé sur neuf caractères représentants les chiffres de 1 à 9 plus trois caractères représentant une dizaine, une centaine, un millier. Zéro n'est pas considéré comme un chiffre mais comme une notion numérique parmi d'autres, la valeur de plancher, le point de repère à partir duquel on va reporter la mesure de 1 unité. C'est ce système qui figure la comptine numérique infinie occidentale.

Ce système peut aussi être utilisé pour des systèmes de comptage beaucoup plus folkloriques, notamment à base irrégulière, et même dans le système actuel, il y a des manières d'écrire un nombre "décimal" qui ne sont pas celles auxquelles on aurait pensé et qui rappellent plutôt le système d'écriture des chiffres romains, qui est celui des grands nombres. Par ailleurs ce système s'utilise aussi pour figurer un système de comptage multidimensionnel infini (matrice, système à N dimensions), qu'on peut notamment utiliser pour résoudre certains paradoxes mathématiques ou travailler sur des nombres infinis.

Le second système est basé sur le pointage d'une valeur disposée sur un cercle autour duquel sont disposés les douze caractères rémaï, ce qui permet par exemple de figurer une progression selon un cadran d'horloge. Ce système permet cependant d'exprimer des cycles beaucoup plus complexes et multidimensionnels, par exemple en imaginant que le premier chiffre placé sur le cadran sert de point de repère pour positionner un cadran perpendiculaire, sur lequel on peut positionner un second chiffre et ainsi de suite, ce qui permet de figurer une position sur un arbre, au lieu de travailler avec un repère à N axe ou d'autres représentations basés sur l'espace. C'est cette approche qui permet de reconstituer une rose des vents par exemple.

***

L'explication de la base 60 réside peut être dans le fait que 60 est un multiple de 12, et que 12 parts est une manière bien pratique de découper un cercle au compas (ouverture de la taille du rayon du cercle, découper 6 parts, puis couper en 2 chaque part). Cela expliquerait les 12 mois de l'année, les 4 saisons de 3 mois, les 12 heures de la journée (autrefois 6 heures) etc. etc.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas

 

Ça m'fait (un peu) penser au système d'indication de direction en aviation :

à midi : en face
à 6 heures : derrière
à deux heures : à droite un peu en avant
à sept heures : à gauche en arrière

etc...

 

 

Pour la divisibilité, les bases 8 et 10 sont à peu près équivalentes. Il n'y a que la divisibilité par 5₈ ou par 7₁₀ qui posent vraiment problème. Je ne parle pas là de nombres infinis derrière la virgule, mais de pouvoir repérer si in nombre est divisible ou non.

La divisibilité par 3 en base 8 se repère comme celle par 11 en base 10* : par le principe de la "somme alternée" : on ajoute les chiffres de rang pair et on, retranche ceux de rang impair.
1144₈ est divisible par 3, tout comme son équivalent décimal (612) l'est. On trouve 204₁₀ ou 1144₈.

Pour la base 12, impossible de repérer facilement une divisibilité par 5 ou par 7. Par contre, par B (11₁₀), c'est comme pour la divisibilité par 9 en base 10 : on additionne les chiffres du nombre.


*Puisqu'en base 8, 11 est un multiple de 3.

Quelqu'un pourrait-il expliquer pourquoi la base 12 serait meilleure que la 16?

Par exemple: il y a quelques années, un ami m'avait affirmé que les pièces de monnaie et billets de banque devraient se décliner selon le système 1 - 3 (c'est-à-dire 0,01, 0,03, 0,10, 0,30, 1, 3, 10, 30...). Pourquoi? Avoir le système 1, 2, 5 (je crois que c'est que vous avez en Europe), nécessite trop de pièces et de billets différents; avoir des 25 sous ou des 2,5 florins complique les calculs. Et 3 est le nombre entier le plus proche de la racine carrée de 10. Moi, je trouvais rebutant que 3 ne divise pas 10...
Évidemment, avec 12, on pourrait avoir 1, 3, 10₁₂, ou 1, 4, 10₁₂... Et, avec 16, ce serait encore plus facile, avec 1, 4, 10₁₆...

 

Si on supprime la virgule, on aura du mal à représenter de manière chiffrée les nombres irrationnels, puisque justement ceux-ci ne peuvent pas être représentés sous la forme de fractions de nombre entiers. Avec la virgule et la notation décimale, on aura pour le nombre d'or : Même si le résultat n'est pas absolument exact, on a un ordre de grandeur : c'est un peu plus qu'un é demi ; comme √2 = un peu moins qu'1,5. On peut avoir des résultats autres avec des virgules, mais d'autres bases (sachant, par exemple, que 0,2, c'est (1/3)₆*. Mais sans virgule, là, j'ai un peu de mal à imaginer ou à percevoir la représentation d'un nombre non entier, même rationnel. Pourrait-on se douter, sans connaître le nombre que (355/113)₁₀ est proche de π à la 6me décimale ? Or 355/113, c'est bien 3,1415929...


*Et là, cett'fois-ci, ça tombe juste !

lsd a écrit:

Le plus simple c'est de laisser tomber l'écriture décimale (à virgule) et rien n'empêche dans n'importe quelle base (et surtout celle qui ne divise rien ) de parler (ici en base 10) de 1/2 1/3 1/4 1/5.
et d'émettre des billets, poids, distance non ?

Ça changerait quoi? D'abord, il existe des nombres irrationnels, qui le sont dans n'importe quelle base, comme π ou e. On doit les écrire avec des décimales*. (À moins d'utiliser des fractions continues.) Ensuite, sans même parler de fractions, ne trouverais-tu pas étrange d'avoir des billets ou des pièces de 3 et de 30 euros plutôt que de 2, 5, 20 et 50? Par contre, bien des pays avaient ou ont toujours des pièces ou des billets de 0,25, 2,5 ou 25 unités. Pourquoi? Parce que cela divise la dizaine supérieure, ce que 3 ou 30 ne font pas.

Mais revenons à ma question: pourquoi 12 plutôt que 16?

*En base 12, pi = 3.184809493B9186...
En base 16, pi = 3.243F6A8885A300...

Silvano a écrit:

Ensuite, sans même parler de fractions, ne trouverais-tu pas étrange d'avoir des billets ou des pièces de 3 et de 30 euros plutôt que de 2, 5, 20 et 50? Par contre, bien des pays avaient ou ont toujours des pièces ou des billets de 0,25, 2,5 ou 25 unités. Pourquoi? Parce que cela divise la dizaine supérieure, ce que 3 ou 30 ne font pas.

En Aneuf (pays à base 10), la division monétaire, au lieu d'être 1, 2, 5,..., elle est 1, 3... Pour rendre la monnaie quand on achète un article à 1 vir sur 10 vire, on se voit rendre trois billets de 3 vire (au lieu de 5+2+2).

Citation :

En base 12, pi = 3.184809493B9186...
En base 16, pi = 3.243F6A8885A300...

Comment tu as réussi à avoir ces résultats ? ça m'intéresse*!

*Pour des bases autres que 10, ma calculatrice ne digère que des nombres entiers !

Anoev a écrit:

Silvano a écrit:

En base 12, pi = 3.184809493B9186...
En base 16, pi = 3.243F6A8885A300...

Comment tu as réussi à avoir ces résultats ? ça m'intéresse*!

*Pour des bases autres que 10, ma calculatrice ne digère que des nombres entiers !

Vive Google! J'ai cherché pi other bases, et j'ai trouvé ceci. On peut même y trouver pi dans la si peu utilisée base 13!

Oups (déception) ! J'croyais qu'il s'agissait d'un logiciel qui convertissait n'importe quel nombre en n'importequelle base, genre :
U_m vers V_n.*

U & V (suites de chiffres) = X (valeur)